節点解析とは

節点解析は、電気回路内のコンポーネント間の接続（「節点」と呼ばれる）における電圧を計算するための手法です。個々のコンポーネントを接続する単純な有線回路から複雑な半導体集積回路（IC）まで、あらゆるものを対象とする回路解析の基礎です。

単純な節点解析では、コンポーネント間の各接続（トレースまたはワイヤ）は「節点」と呼ばれます。キルヒホッフの法則とオームの法則を用いて、各節点につながるすべての導電経路の抵抗、電流、および電圧に関する方程式を記述します。この連立方程式は、手作業で、または線形代数を用いて、各節点における電圧降下を解きます。大規模な問題には、ソフトウェア（通常はSPICE回路シミュレータ）を使用して節点解析を実行します。 

節点解析手法は、次の3つの基本法則に基づいています。

1. キルヒホッフの電流則（KCL）

ある節点に流れ込む電流と流れ出す電流の総和はゼロになります。

ここで、Iは電流、nは節点につながる分岐の数です。 

2.キルヒホッフの電圧則（KVL）

一巡する閉じた経路において、すべての電位差（電圧）の総和はゼロになります。

ここで、Vは電圧、nは経路上で電圧が測定される場所の数です。

3.オームの法則

導体を流れる電流（I）は、導体内の電圧（V）を導体の抵抗（R）で除算した値に等しくなります。 

節点解析では、回路図を使用して、次の項目が含まれる回路を表現します。

基準節点: 電圧値が既知である回路内の節点。これは、通常はグランド節点であり、電圧値は0に設定されています。 

非基準節点: 電圧値が不明な任意の節点。 

電圧源: 既知の電圧値によって電位が変化する回路内のコンポーネント。

電流源: 既知の電流値を持つコンポーネント。 

超節点: 電圧源の両側に2つの未知の電圧値が存在する場合、それは超節点に変換でき、2つの節点の電流値は単一の方程式に結合されます。超節点の電圧値と電流値の関係について、新しい方程式を記述できます。 

コンポーネント: 電圧値と電流値の関係が既知である電子デバイス。抵抗器の場合、この関係は抵抗値に基づきます。一般に、アドミタンス（抵抗の逆数）として表されます。コンデンサの場合、この関係は、静電容量と時間経過に伴う電圧変化の関係に依存します。 

修正節点解析: より複雑な回路では、単純な節点解析では未知の電圧値をすべて解けないことがあります。コンポーネントの電流値と電圧値の関係がオームの法則よりも複雑な場合は、修正節点解析を実行します。 

網目解析: 電流値が不明な場合は、網目解析を使用し、キルヒホッフの電圧則を用いて、分岐の未知の電流値を解きます。 

電子回路は、電流を伝達して電力と信号を供給するように設計されています。回路を設計するエンジニアは、定義した回路が期待どおりに機能することを確認しなければなりません。節点解析は、回路のあらゆる部分について、節点の電圧値と電流値を計算するために実行されます。これらの基本的な値を把握できると、シグナルインテグリティ、加熱、および全体的な電力性能を理解するために、より複雑な解析を実行できるようになります。

PCBレベルの設計では、節点解析を使用して、基板のトポロジーの影響、さまざまなコンポーネントの影響、さらには接地面、トレース、ビアなどの導電経路全体にわたる電力の分布を理解できます。

どのタイプのマイクロチップであっても、電力損失を理解することが極めて重要です。節点の数が多くなると、節点方程式の数も多くなります。電流、電圧、電力の分布を理解して検証する唯一の方法が回路解析です。

電圧降下の計算は、特に今日の複雑な半導体製品では、節点解析のもう1つの一般的な用途です。節点間で電位が低下するたびに熱が発生し、別の箇所で必要となる電力が失われます。節点解析ツールは、非常に複雑な半導体の不要な電圧降下または集中した電圧降下によって生じる、回路の弱点に対しても使用されます。

チップの設計者は、これらのツールを使用して、問題を見つけるだけでなく、what-if調査を実行して電力と性能を最適化できます。デジタルおよび3D-IC用のパワーインテグリティサインオフプラットフォームであるAnsys RedHawk-SC™などのツールは、大規模なHPCクラウドプラットフォーム上で動作することで、数百万のコンポーネントを持つ最新の半導体アーキテクチャの大規模な回路をサポートします。これは実証済みの手法であるため、多くの主要なファウンドリがサインオフのためにRedHawk-SCを認定しています。 

節点解析は、手作業、ソフトウェアのどちらの場合でも、以下の手順に従います。

1.節点を定義する

回路で接続されているすべての導電セグメント（節点）を捕捉します。手作業で計算する場合は、回路図を作成して、節点に番号を振ります。ソフトウェアを使用する場合は、回路図に基づいて、すべての節点と節点からコンポーネントへの接続リストが自動的に作成されます。

2.グランド節点を選択する

基準節点となる節点を選択し、その電圧をグランド電圧として定義します。これにより、システム内の未知の項目が1つ減ります。n個の節点がある場合は、n-1個の方程式を解く必要があります。

3.変数を作成する

電圧値が不明な非基準節点ごとに、その節点の電圧を示す変数を割り当てます。電圧値が既知である節点には、変数を割り当てる必要はありません。

4.節点方程式を作成する

電圧値が不明な節点ごとに、その節点のKCL方程式を記述します。具体的には、節点の各区間について計算された分岐の電流値を加算していき、総和をゼロに設定します。2つの節点間の電流は、電流源が節点間にある場合に既知の値とすることができます。これは、節点間の電圧差を節点間の抵抗で除算した値であるか、コンデンサの電圧変化と静電容量の間の関係のどちらかとなります。他のコンポーネントには、より複雑な方程式を使用できます。

5.節点を超節点として結合する

2つの未知の電圧を超節点に接続する任意の電圧源を単一の方程式にまとめます。

6.まとめてから解く

手作業で解けるほど回路が小規模な場合を除き、連立方程式はn-1個の列と行からなる正方形行列にまとめることができます。その後で、線形代数の数値法を用いて、未知の電圧を解くことができます。 

このプロセスをより詳しく説明するために、簡単な例を示します。下図は、1つの電流源、1つの電圧源（10ボルト）、2つの抵抗器で構成された回路です。電圧V₁は不明です。 

1. V₁は、唯一の不明な電圧です。もう1つの節点はグランドに接続されており、基準点になります。
2. 節点V₁には、次の3つの分岐電流があります。
   • 抵抗器R₁を流れる電流: (V₁ - V_s)/R₁
   • 抵抗器R₂を流れる電流: (V₁ - 0)/R₂
   • 電流源I_sを流れる電流: - I_s
3. キルヒホッフの電流則では、これらの総和を0に設定します。
   

4.V₁に対して書き換えます。

次に、節点解析手法を使用して、2つの未知の電圧に接続された電圧源を持つ回路を見てみましょう。 

1. V₁およびV₂の節点電圧は不明です。もう1つの節点はグランドに接続されており、0ボルトの基準節点に設定します。また、V_Aは、V₁とV₂の間にあるので、超節点になります。
2. 節点V₁には、次の3つの分岐電流があります。
   1. 抵抗器R₁を流れる電流: (V₁ - V₂)/R₁
   2. 抵抗器R₂を流れる電流: (V₁ - 0)/R₂
   3. 電流源I_Aを流れる電流: - I_A または2アンペア
3. 節点V₂ には、次の4つの分岐電流があります。
   1. 抵抗器R₁を流れる電流: (V₂ - V₁)/R₁
   2. 抵抗器R₂を流れる電流: (V₂ - 0)/R₃
   3. 電流源I_bを流れる電流: I_bまたは2アンペア
   4. V_Aの超節点方程式: V₂ = V₁ + V_A
4. キルヒホッフの電流則により、節点1の電流の総和を0に設定します。

5.V₁に対して書き換えます。

6.キルヒホッフの電流則により、節点2の電流の総和を0に設定します。

7.V₂に対して書き換えます。

8.V2の超節点方程式を使用して他の2つの方程式を解くと、V₁ = -7.33V、V₂ = -5.33Vとなります。

節点解析は、電気回路の振る舞い特性を評価するための基礎的なステップです。一般的には、SPICEソルバーを使用して実行します。ブレッドボード上の単純な回路から、数百万個のトランジスタが実装された最新の半導体まで、エンジニアは、電圧を計算するだけでなく、その情報を用いてパワーノイズを理解し、アナログミックスドシグナル設計の信頼性サインオフを実現するために、Ansys Totem™パワーインテグリティサインオフプラットフォームなどのツールを使用する必要があります。

Ansys Twin Builder®は、他の次数低減ツールと組み合わせることができるフル節点解析ソルバーを提供します。回路だけでなく、製品内で回路と接続されているものを含めて、1つのインターフェースで解析できます。

複雑な電気システムに節点解析を効率的かつ効果的に適用するための推奨事項をいくつか示します。

1. 節点解析モデルを作成する前に、設計内のすべての回路要素（電気特性を含む）を理解しておきます。
2. 基準節点に関する仮定が正しいこと、実際に接地されていること、電圧がフロート状態にならないことを確認してください。
3. 電気CADデータをシームレスに読み込み、最小限のユーザー入力で回路表現を作成できるツールを使用します。
4. 十分に時間をかけて、節点解析の基礎を理解しておきます。特性評価が必要なコンポーネントのタイプに関連する簡単な回路解析のチュートリアルなどを活用します。
5. 節点解析に限定されないソフトウェアツールを使用します。特定の回路の節点解析を、それ以降のシミュレーションの開始点として扱うようなソリューションを使用します。 

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