什麼是 RLC 電路？

RLC 電路是以串聯或並聯方式連接電阻器、電感器與電容器的電子電路。它們的名稱源自於電路圖中用來代表這些元件的符號，即「R」代表電阻器、「L」代表電感器，「C」代表電容器。

現代通訊系統將 RLC 電路與主動元件 (例如電晶體和二極體) 結合，形成完整的積體電路。在積體電路中，RLC 電路可作為濾波器、放大器或振盪器使用，依賴共振與阻尼等特性運作。例如，在無線電接收器中，RLC 電路會執行帶通濾波器，讓使用者可以調到特定無線電頻率，排除其他頻率。

RLC 電路也稱為二階電路，這是因為電路設計人員使用二階微分方程式描述這些電路中電壓與電流的特性。此外，這些電路中的每個 R、L 和 C 元件都可以排列在多種不同的拓撲中，其中最簡單的是串聯和並聯拓撲。

在純 RL 和 RC 電路內，只有一個能量儲存元件以電感器 (L) 或電容器 (C) 的形式存在。在這兩種情況下，電路設計人員只需要指定一個初始條件，進而產生一階微分方程式。

相較之下，RLC 電路包含兩個能量儲存元件，因此需要兩個初始條件，並產生二階微分方程式。這些初始條件與電路中存在的初始電壓和電流有關。

另外值得注意的是，直到 20 世紀初，人們還認為二階微分方程式能夠提供實體系統行為的完整描述。但是，在 Max Planck 努力構思量子力學背後的原則後，這一觀點現在已發生了改變。

然而，二階微分方程式仍持續提供許多實體系統行為的準確描述。其中一個範例是鐘擺的擺動，在鐘擺釋放時，重力場中的位能會轉變為動能，在其達到最大高度時，則會轉變回位能。當鐘擺消耗能量 (因摩擦) 時，其會逐漸停止。

在這種情況下，二階微分方程式可提供有定期能量交換之系統的準確描述，如鐘擺系統所示。此定期能量交換反映 RLC 電路的行為，其中電能與磁能場之間會進行定期互換。

結合電阻器、電感器與電容器的 RLC 電路構成電路設計的基礎。這些元件的每一個都有特定的物理特性，進而構成整體電路行為。

電阻器

電阻器是集總電路元件，會「阻礙」電流流動，進而造成電壓降。它們具有恆定電阻 (以歐姆為單位測量) 的特性，與所應用訊號的頻率無關。在 RLC 電路內維持平衡方面，電阻器發揮著不可或缺的作用。

電感器

電感器通常由電線線圈構成，會在電流通過電線時將能量儲存在磁場中。它們會阻礙電流的變化，其中阻礙程度稱為感抗 (以歐姆為單位測量)。此感抗取決於所應用訊號的頻率。它會隨著頻率的增加而增加，反之亦然。

電容器

電感器會將能量儲存在磁場中，而電容器會將能量儲存在電場中。電容器會阻礙電壓的變化，其中阻礙程度稱為容抗 (也以歐姆為單位測量)。容抗也取決於頻率：它會隨著頻率的增加而降低，反之亦然。

RLC 電路包含兩個主要元件：電源和共振器。此外，有兩種類型的電源：Thévenin 和 Norton 電源，也有兩種類型的共振器：串聯 LC 和並聯 LC 共振器。每個串聯和並聯 RLC 電路都有不同的特性，使其分別適合特定的應用。

串聯 RLC 電路的特性

在串聯 RLC 電路中，電阻器、電感與電容器排列在單一電路路徑上，使流經每個元件的電流維持不變，而電壓會發生變化。淨效應如下：

• 在電阻器兩端，電壓與電流同相。
• 在電感器兩端，電壓領先電流 90°。
• 在電容器兩端，電壓滯後電流 90°。

因此，電路兩端的總電壓並非各元件兩端電壓的代數總和，而是其向量總和。可以使用電流向量作為參考，將這些電壓繪製在相量圖上。

克希荷夫電壓定律 (KVL) 指出，閉合電路中電壓的總和等於此電路兩端電動勢 (EMF) 的總和。因此，電源電壓 VS (以伏特為單位) 為：

VS = VR + VL + VC

有鑑於此，在串聯 RLC 電路中：

VR = IR

VL = LdI/dt

VC = Q/C

這會變成：

VS = IR + LdI/dt + Q/C

其中 I 為電流，L 為電感，Q 為電荷，C 為電容。

任何電路都會自然地對電流流動產生一定程度的阻力。這稱為阻抗 (以歐姆為單位)。它包含「電阻」部分 (對直流電流動的阻力) 和「電抗」部分 (對交流電流動的阻力)。在串聯 RLC 電路中，表示為：

Z = √R2 + (XL2 - XC2)

其中 XL 為感抗 (電感器對交流電流動的阻礙)，XC 為容抗 (電容器對交流電壓的阻礙)。

感抗與容抗都取決於頻率，以便： 

• 當 XL> XC 時，電路中的整體電抗會變為電感，且電壓會領先電流 90° 相角。 
• 當 XL< XC 時，電路會變為電容，且電壓會滯後電流 90°。  
• 當 XL = XC 時，電路會變為共振。這在電子電路中有許多重要的應用。

並聯 RLC 電路的特性

在並聯 RLC 電路中，R、L 和 C 元件兩端的電壓會維持不變，而流經每個元件的電流可發生變化。並聯 RLC 電路是串聯電路的倒數；但是其數學處理更具挑戰性。

流經電路的總電流並不等於流經每個元件的電流代數總和，而是其向量總和。

克希荷夫電流定律 (KCL) 指出，流經電路中節點的電流總和等於零。因此，電路中任何節點的電源電流都是由下列方式提供：

IS - IR - IL - IC = 0

且阻抗為：

1/Z = √(1/R)2 + (1/XL - 1/XC)2

值得注意的是，上述運算式是串聯 RLC 電路中阻抗方程式的倒數。事實上，由於電子電路中存在對偶性關係，並聯 RLC 的特性也反映了串聯 RLC 的特性。因此，並聯 RLC 的阻抗是串聯 RLC 的對偶，且運算式採用相同的一般形式。

阻抗的倒數 (1/Z) 稱為導納 (以西門子為單位測量)。這是計算並聯電路中阻抗的一種更便利的方式，在涉及到多個分支的情況下尤其如此。並聯電路中的總導納就是各元件導納的總和。在倒數方面，在串聯電路中，總阻抗是各元件阻抗的總和。

作為興趣點，電阻的倒數 (1/R) 稱為電導，而電抗的倒數 (1/X) 稱為電納。

串聯與並聯 RLC 電路之間的差異

如前所述，串聯與並聯配置的電路運算式互為倒數。這有助於電路設計人員判斷，串聯還是並聯配置更方便進行特定設計。下表描述串聯與並聯 RLC 電路之間的主要差異：

基本上，有兩個參數描述 RLC 電路的行為，即共振頻率和阻尼因子。工程師可從這前兩個參數得出其他參數，包括頻寬和 Q 因子。

RLC 電路中的共振

RLC 電路的一項重要特性是能夠在特定頻率下共振，稱為共振頻率。實體系統呈現出自然頻率，且其在此頻率下更容易發生振動。在共振時 (無論是否有驅動來源)，會大幅放大振動，進而產生高效的能量傳遞。

在 RLC 電路內，儲存在電容器電場中的能量可能會傳遞並儲存到電感器周圍的磁場中，反之亦然。這種傳遞可能會定期發生，進而產生振盪 RLC 電路。在共振時，角頻率 ω (以弧度為單位) 由下列方式提供：

ω = 1/√LC

此外，在共振時，感抗等於容抗，且電路的總阻抗 (複數) 為零。

因此，在串聯 RLC 電路中，阻抗達到最小值，而在並聯電路中達到最大值。 

瞭解並應用 RLC 電路中的共振，是設計高效率且有效電子系統的關鍵，在通訊、電力系統和訊號處理應用中尤其如此。重要的共振應用包括：

• 頻率選擇：在共振時，RLC 電路可回應特定頻率的訊號，排除其他頻率，例如收音機中的調諧器。
• 濾波器：RLC 電路可作為各種類型的濾波器使用，包括帶通、帶阻、低通或高通濾波器。或者，這些電路也可以作為積體電路中的雜訊濾波器使用。它們也可以作為抑制器電路，用來抑制特定頻率的電流，且這種並聯電路稱為抗共振器。
• 電壓倍增：如果電阻最小，電感器和電容器兩端的電壓可比輸入電壓大幾倍。此電壓倍增效應與電路的 Q 因子成比例。
• 阻抗匹配：在共振時，串聯 RLC 電路中的阻抗為純電阻且為其最小值，而針對並聯 RLC 電路，為其最大值。這可用於阻抗匹配。
• 功率轉移：隨著串聯 RLC 電路在共振時達到最大功率轉移，其對需要高效能量傳遞的應用來說至關重要。
• 振盪器電路：RLC 電路通常用於振盪器應用，需要特定頻率下的持續振盪。在這些情況下，會最小化 (用於串聯電路) 或最大化 (用於並聯電路) 電路的電阻，以減少阻尼，並逼近理想的 LC 電路。

RLC 電路中的阻尼

阻尼描述在振盪 RLC 系統中，振盪幅度隨著時間的推移而降低 (基於阻抗) 的趨勢。因此，在 RLC 電路中，電阻器會在消耗能量方面發揮重要作用。它們也可決定電路是否會自然共振 (也就是沒有驅動來源)。

因此，工程師會觀察 RLC 電路內三種類型的阻尼反應：

• 欠阻尼電路，具有振盪緩慢衰減的特性
• 過阻尼電路，振盪會快速停止
• 臨界阻尼電路，振盪會在達到穩態振盪所需短暫臨界時間結束時停止
• 對於臨界阻尼電路，\zeta = 1

無因次阻尼比是一個重要參數，有助於工程師描述 RLC 電路中阻尼的特性。在振盪器電路中，工程師會設法最小化串聯電路中的電阻，同時最大化並聯電路中的電阻，以最小化阻尼。在帶通濾波器中，會調整阻尼係數以符合所需頻寬：較高的值會產生較寬的頻寬，反之亦然。

RLC 電路中得出的參數包括頻寬和 Q 因子。

頻寬

頻寬描述 RLC 電路共振的頻率範圍。它是濾波器設計中的一個關鍵參數，共振附近的阻抗快速變化可用來傳遞或封鎖接近共振頻率的訊號，這分別是在帶通濾波器和帶阻濾波器中顯現的效果。

頻寬代表截止頻率之間的頻率間隙，通常定義為以下情況下的頻率：通過電路的功率為在共振時通過的功率的一半。 

工程師可調整濾波器電路中的阻尼，以符合所需頻寬。高阻尼會產生寬頻濾波器。相反地，低阻尼會產生窄頻濾波器。

Q 因子

無因次 Q 因子描述振盪系統的阻尼程度。它定義為系統中儲存之初始能量與振盪週期中一個弧度損失之能量的比。

較高的 Q 因子代表較低的能量損失率且振盪會更慢地衰減 (窄頻，欠阻尼)，而較低的 Q 因子代表有損網路 (寬頻，過阻尼)。高 Q 系統的範例包括時脈、雷射與音叉，且後者顯示在 1000 區域中的 Q。一些高 Q 雷射會達到 1011 或更高的 Q 值。

整合電阻器、電感器與電容器的 RLC 電路構成電路設計的支柱。工程師可利用共振與阻尼的電路特性，設計多種電路以用於各種應用。因此，瞭解 RLC 電路並描述其特性，對於設計、分析及最佳化融入各種電子和通訊系統的電路而言至關重要。

在 RLC 電路內，電磁耦合是影響這些電路效能的關鍵因素 — 影響頻率反應、功率轉移、阻尼及其他特性。

因此，考慮到電路設計，Ansys Exalto ® 軟體是一種 LVS RLCk 後擷取軟體，它會擷取集總電路寄生元件並產生精確的電氣、磁性和基板耦合模型，使設計人員能夠準確發現設計階層中不同區塊之間的互擾。Exalto 軟體與大多數 LVS 封裝連接，可補足選擇的 RC 擷取工具。

此外，Ansys RaptorH ™ 軟體是一種前 LVS 電磁建模軟體，可對高速 RF 和數位 SOC 進行高容量電磁建模，其中包括電網、完整自訂區塊、螺旋電感器和時脈樹。它結合了黃金標準 Ansys HFSS™ 電磁模擬引擎，與矽最佳化的 Ansys RaptorX 引擎。

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