Was sind RLC-Schaltungen?

RLC-Schaltungen sind elektrische Schaltungen, in denen Widerstände, Induktivitäten und Kondensatoren entweder in Reihe oder parallel geschaltet werden. Ihr Name leitet sich von den Symbolen ab, die zur Darstellung dieser Elemente in Schaltplänen verwendet werden, nämlich ‚R‘ für Widerstände, ‚L‘ für Induktivitäten und ‚C‘ für Kondensatoren.

Moderne Kommunikationssysteme kombinieren RLC-Schaltungen mit aktiven Elementen wie Transistoren und Dioden, um komplette integrierte Schaltungen zu bilden. Innerhalb integrierter Schaltungen fungieren RLC-Schaltungen als Filter, Verstärker oder Oszillatoren, wobei sie sich auf Eigenschaften wie Resonanz und Dämpfung stützen. In Funkempfängern beispielsweise führen RLC-Schaltungen Bandpassfilterung durch, wodurch die Benutzer*innen bestimmte Funkfrequenzen unter Ausschluss anderer einstellen können.

RLC-Schaltungen werden auch als Schaltungen zweiter Ordnung bezeichnet, da Schaltungsentwickler*innen Differentialgleichungen zweiter Ordnung verwenden, um die Spannungen und Ströme innerhalb dieser Schaltungen zu charakterisieren. Darüber hinaus kann jedes R-, L- und C-Element innerhalb dieser Schaltungen in verschiedenen Topologien angeordnet werden, wobei die einfachste in Reihen- und Paralleltopologien besteht.

In reinen RL- und RC-Schaltungen ist nur ein Energiespeicherelement in Form einer Induktivität (L) oder eines Kondensators (C) vorhanden. In beiden Fällen müssen Schaltungsentwickler*innen nur eine Ausgangsbedingung angeben, was zu Differentialgleichungen erster Ordnung führt.

Im Gegensatz dazu enthalten RLC-Schaltungen beide Energiespeicherelemente, wodurch zwei Ausgangsbedingungen erforderlich sind und Differentialgleichungen zweiter Ordnung entstehen. Diese Ausgangsbedingungen beziehen sich auf die in der Schaltung vorhandenen Anfangsspannungen und -Ströme.

Erwähnenswert ist auch, dass bis zum Beginn des 20. Jahrhunderts Differentialgleichungen zweiter Ordnung eine vollständige Beschreibung des Verhaltens physikalischer Systeme bieten. Mit den Bemühungen von Max Planck, die Prinzipien der Quantenmechanik zu formulieren, hat sich diese Sichtweise jedoch geändert.

Dennoch bieten Differentialgleichungen zweiter Ordnung nach wie vor genaue Beschreibungen des Verhaltens vieler physikalischer Systeme. Ein Beispiel ist das Schwingen eines Pendels, bei dem potenzielle Energie im Schwerkraftfeld bei der Freisetzung des Pendels in kinetische Energie umgewandelt wird, die dann wieder in potentielle Energie umgewandelt wird, wenn es seine maximale Höhe erreicht. Da das Pendel Energie abgibt (aufgrund von Reibung), kommt es allmählich zum Stillstand.

Dabei liefern Differentialgleichungen zweiter Ordnung genaue Beschreibungen von Systemen, in denen es einen periodischen Austausch von Energien gibt, wie im Pendelsystem dargestellt. Dieser periodische Energieaustausch spiegelt das Verhalten von RLC-Schaltungen wider, in denen es einen periodischen Austausch zwischen elektrischen und magnetischen Energiefeldern gibt.

RLC-Schaltungen mit Widerständen, Induktivitäten und Kondensatoren bilden die Grundlage für das Design elektrischer Schaltungen. Jedes dieser Elemente weist spezifische physikalische Eigenschaften auf, die zum Gesamtverhalten der Schaltung beitragen.

Widerstände

Widerstände sind pauschale Schaltungselemente, die dem Stromfluss „widerstehen“ und dadurch einen Spannungsabfall verursachen. Sie zeichnen sich durch einen konstanten Widerstand (gemessen in Ohm) aus, der unabhängig von der Frequenz eines angelegten Signals ist. Widerstände sind für die Aufrechterhaltung eines Gleichgewichts innerhalb einer RLC-Schaltung unerlässlich.

Induktoren

Induktivitäten bestehen in der Regel aus Drahtspulen, die Energie in einem Magnetfeld speichern, wenn Strom durch den Draht fließt. Sie widersetzen sich Stromschwankungen, wobei der Grad des Widerstands als induktiver Blindwiderstand bezeichnet wird (gemessen in Ohm). Dieser induktive Blindwiderstand ist abhängig von der Frequenz eines angelegten Signals. Er nimmt mit zunehmender Frequenz zu und umgekehrt.

Kondensatoren

Während Induktivitäten Energie in einem magnetischen Feld speichern, speichern Kondensatoren Energie in einem elektrischen Feld. Kondensatoren widersetzen Spannungsschwankungen, bei denen der Grad der Opposition als kapazitiver Blindwiderstand bezeichnet wird (auch gemessen in Ohm). Der kapazitive Blindwiderstand ist auch frequenzabhängig: Er nimmt mit zunehmender Frequenz ab und umgekehrt.

RLC-Schaltungen bestehen aus zwei Hauptkomponenten, Stromquellen und Resonatoren. Darüber hinaus gibt es zwei Arten von Stromquellen – Thévenin und Norton – sowie zwei Arten von Resonatoren – Serien-LC- und parallele LC-Resonatoren. RLC-Reihenschaltungen und parallele RLC-Schaltungen weisen jeweils unterschiedliche Eigenschaften auf, sodass sie für bestimmte Anwendungen geeignet sind.

Eigenschaften von RLC-Reihenschaltungen

In einer RLC -Reihenschalung sind Widerstände, Induktivitäten und Kondensatoren auf einem einzigen Leiterpfad angeordnet, so dass der Strom, der durch die einzelnen Komponenten fließt, unverändert bleibt, während die Spannungen variieren. Der Nettoeffekt ist:

• Über einen Widerstand ist die Spannung in Phase mit dem Strom.
• Über eine Induktivität führt die Spannung den Strom um 90°.
• Über einen Kondensator hinkt die Spannung dem Strom um 90° nach.

Folglich ist die Gesamtspannung über die Schaltung nicht die algebraische Summe der Spannungen über jede Komponente, sondern ihre Vektorsumme. Diese Spannungen können in einem Zeigerdiagramm dargestellt werden, wobei der Stromvektor als Referenz verwendet wird.

Das Kirchhoffsche Spannungsgesetz (KVL) besagt, dass die Summe der Spannungen in einer geschlossenen Schaltung der Summe der elektromotorischen Kräfte (EMFs) in dieser Schaltung entspricht. Daher beträgt die Quellspannung VS (in Volt):

VS = VR + VL + VC

In einer RLC-Reihenschaltung:

VR = IR

VL = LdI/dt

VC = Q/C

Dies wird:

VS = IR + LdI/dt + Q/C

Dabei ist I ein Strom, L eine Induktivität, Q eine elektrische Ladung und C eine Kapazität.

Jede Schaltung weist dem Stromfluss von Natur aus einen gewissen Widerstand auf. Dies wird als Impedanz bezeichnet (in Ohm). Sie besteht aus einem „resistiven“ Teil (Widerstand gegen Gleichstrom) und einem „reaktiven“ Teil (Widerstand gegen Wechselstrom). In einer RLC-Reihenschaltung wird sie ausgedrückt als:

Z = √R2 + (XL2 - XC2)

Dabei ist XL der induktive Blindwiderstand (Gegensatz zum Wechselstromfluss an der Induktivität) und XC der kapazitive Blindwiderstand (Gegensatz zur Wechselspannung am Kondensator).

Induktive und kapazitive Blindwiderstände sind beide frequenzabhängig, so dass: 

• Bei XL> XC wird der gesamte Blindwiderstand in der Schaltung induktiv, und die Spannung führt den Strom um einen Phasenwinkel von 90°. 
• Bei XL< XC wird die Schaltung kapazitiv, und die Spannung liegt um 90° hinter dem Strom.  
• Bei XL = XC wird die Schaltung resonant. Dies hat eine Reihe wichtiger Anwendungen in elektronischen Schaltungen.

Eigenschaften von parallelen RLC-Schaltungen

In einer parallelen RLC-Schaltung bleibt die Spannung über die R-, L- und C-Komponenten gleich, während der Strom, der durch die einzelnen Komponenten fließt, variieren kann. Eine parallele RLC-Schaltung ist die Reziprok einer Reihenschaltung, aber ihre mathematische Behandlung ist schwieriger.

Der Gesamtstrom, der durch die Schaltung fließt, entspricht nicht der algebraischen Summe der durch jedes Element fließenden Ströme, sondern ihrer Vektorsumme.

Der Kirchhoffsche Knotensatz (KCL) besagt, dass die Summe der Ströme, die durch einen Knoten in einer Schaltung fließen, gleich Null ist. Daher ist der Quellstrom an einem beliebigen Knoten in der Schaltung:

IS - IR - IL - IC = 0

Und die Impedanz ist:

1/Z = √(1/R)2 + (1/XL - 1/XC)2

Es ist erwähnenswert, dass der obige Ausdruck die Reziprok der Gleichung für die Impedanz in einer RLC-Reihenschaltung ist. Aufgrund der Dualitätsbeziehung, die in elektrischen Schaltungen besteht, spiegeln sich die Eigenschaften eines parallelen RLC mit denen eines Serien-RLC wider. Folglich ist die Impedanz für ein paralleles RLC den Dual eines Serien-RLC, und die Ausdrücke nehmen die gleiche allgemeine Form an.

Der Kehrwert für die Impedanz (1/Z) wird als Admittanz bezeichnet (gemessen in Siemens). Sie bietet eine bequemere Möglichkeit, Impedanzen in Parallelschaltungen zu berechnen, insbesondere wenn mehrere Verzweigungen betroffen sind. Die Gesamtadmittanz in Parallelschaltungen ist einfach die Summe der Elementaradmittanz. In Reihenschaltungen ist die Gesamtimpedanz die Summe der Elementimpedanzen.

Als interessanter Punkt wird die Wechselbeziehung des Widerstands (1/R) als Leitfähigkeit und die Wechselbeziehung des Blindwiderstands (1/X) als Suszeptanz bezeichnet.

Unterschiede zwischen RLC-Reihenschaltungen und parallelen RLC-Schaltungen

Wie bereits erwähnt, sind die Schaltungsausdrücke für die Reihen- und Parallelkonfigurationen die Inversen voneinander. Auf diese Weise können Schaltungsentwickler*innen bestimmen, ob eine Reihen- oder Parallelkonfiguration für eine bestimmte Konstruktion bequemer ist. Die folgenden Tabellen beschreiben die wichtigsten Unterschiede zwischen parallelen RLC-Schaltungen und RLC-Reihenschaltungen:

Grundsätzlich gibt es zwei Parameter, die das Verhalten von RLC-Schaltungen beschreiben, nämlich die Resonanzfrequenz und den Dämpfungsfaktor. Ingenieur*innen können aus diesen beiden ersten Parametern weitere Parameter wie Bandbreite und Q-Faktor ableiten.

Resonanz in RLC-Schaltungen

Ein wichtiges Merkmal von RLC-Schaltungen ist die Fähigkeit, bei bestimmten Frequenzen, d.h. Resonanzfrequenzen, zu schwingen. Physikalische Systeme weisen Eigenfrequenzen auf, bei denen sie leichter vibrieren. Bei Resonanz (entweder bei Vorhandensein oder Abwesenheit einer Antriebsquelle) werden die Schwingungen stark verstärkt, was zu effizienten Energieübertragungen führt.

Innerhalb einer RLC-Schaltung kann die im elektrischen Feld eines Kondensators gespeicherte Energie in das Magnetfeld um eine Induktivität übertragen und gespeichert werden und umgekehrt. Diese Übertragung kann periodisch erfolgen, was zu einer oszillierenden RLC-Schaltung führt. Bei Resonanz ergibt sich die Winkelfrequenz ω (in Radiant) wie folgt:

ω = 1/√LC

Außerdem entspricht der induktive Blindwiderstand bei Resonanz dem kapazitiven Blindwiderstand, und die Gesamtimpedanz der Schaltung (eine komplexe Zahl) ist Null.

Folglich erreicht die Impedanz in einer RLC-Reihenschaltung ein Minimum, während sie in einer Parallelschaltung ein Maximum erreicht. 

Das Verständnis und die Anwendung von Resonanz in RLC-Schaltungen ist entscheidend für die Entwicklung effizienter und effektiver elektronischer Systeme, insbesondere in Kommunikations-, Stromversorgungssystemen und Signalverarbeitungsanwendungen. Wichtige Resonanzanwendungen sind:

• Frequenzauswahl: Bei Resonanz können RLC-Schaltungen auf Signale bestimmter Frequenzen reagieren, wobei andere Frequenzen ausgeschlossen werden, z. B. der Tuner in einem Funkgerät.
• Filterung: RLC-Schaltungen können als verschiedene Arten von Filtern verwendet werden, einschließlich Bandpass-, Band-Stop-, Tiefpass- oder Hochpass-Filter. Alternativ können diese Schaltungen als Geräuschfilter in integrierten Schaltungen fungieren. Sie können auch als Ablehnungsschaltungen fungieren, die Ströme bei bestimmten Frequenzen unterdrücken, und diese Art von Parallelschaltung wird als Antiresonator bezeichnet.
• Spannungsvermehrung: Wenn der Widerstand minimal ist, können die Spannungen zwischen Induktivität und Kondensator um ein Vielfaches größer sein als die Eingangsspannung. Diese Spannungsvermehrung ist proportional zum Q-Faktor der Schaltung.
• Anpassung der Impedanz: Bei Resonanz ist die Impedanz in einer RLC-Reihenschaltung rein ohmsch und auf ihrem Minimum, während sie bei einer parallelen RLC-Schaltung auf ihrem Maximum liegt. Dies kann zur Anpassung der Impedanz verwendet werden.
• Leistungsübertragung: Da RLC-Reihenschaltungen bei Resonanz die maximale Leistungsübertragung erreichen, sind sie für Anwendungen, die eine effiziente Energieübertragung erfordern, von entscheidender Bedeutung.
• Oszillatorschaltungen: RLC-Schaltungen werden häufig in Oszillatoranwendungen verwendet, bei denen anhaltende Oszillationen mit einer bestimmten Frequenz erforderlich sind. In diesen Fällen wird der Widerstand der Schaltung minimiert (bei Reihenschaltungen) oder maximiert (bei Parallelschaltungen), um die Dämpfung zu verringern und eine ideale LC-Schaltung zu erreichen.

Dämpfung in RLC-Schaltungen

Dämpfung beschreibt die Tendenz in oszillierenden RLC-Systemen, dass die Schwingungsamplituden im Laufe der Zeit (aufgrund von Widerständen) abnehmen. Daher spielen Widerstände eine entscheidende Rolle bei der Energieableitung in RLC-Schaltungen. Sie bestimmen auch, ob die Schaltung auf natürliche Weise Resonanz hat (d. h., wenn keine Antriebsquelle vorhanden ist).

Daher beobachten Ingenieur*innen drei Arten von Dämpfungsreaktionen innerhalb von RLC-Schaltungen:

• Untergedämpfte Schaltungen, gekennzeichnet durch einen langsamen Rückgang der Schwingungen
• Übergedämpfte Schaltungen, in denen Schwingungen schnell aufhören
• Kritisch gedämpfte Schaltungen, bei denen Schwingungen kurz vor der kritischen Zeit zum Erreichen stationärer Schwingungen aufhören
• Für kritisch gedämpfte Schaltungen \zeta = 1

Das dimensionslose Dämpfungsverhältnis ist ein wichtiger Parameter, der Ingenieur*innen bei der Charakterisierung der Dämpfung in RLC-Schaltungen hilft. In Oszillatorschaltungen versuchen Ingenieur*innen, die Dämpfung zu minimieren, indem sie den Widerstand in einer Reihenschaltung minimieren und gleichzeitig den Widerstand in einer Parallelschaltung maximieren. Bei Bandpassfiltern wird der Dämpfungskoeffizient auf die gewünschte Bandbreite abgestimmt: Ein höherer Wert führt zu einer größeren Bandbreite und umgekehrt.

Abgeleitete Parameter in RLC-Schaltungen umfassen Bandbreite und Q-Faktor.

Bandbreite

Die Bandbreite beschreibt den Frequenzbereich, in dem eine RLC-Schaltung resonant ist. Sie stellt einen Schlüsselparameter im Filterdesign dar, bei dem eine schnelle Änderung der Impedanz nahe Resonanz verwendet werden kann, um Signale nahe der Resonanzfrequenz zu passieren oder zu blockieren – ein Effekt, der sich bei Bandpass- bzw. Bandstopp-Filtern zeigt.

Die Bandbreite stellt den Frequenzabstand zwischen den Grenzfrequenzen dar, der normalerweise als die Frequenzen definiert ist, bei denen die durch die Schaltung strömende Leistung die Hälfte der bei Resonanz strömenden Leistung beträgt. 

Die Ingenieur*innen passen die Dämpfung in Filterschaltungen an die gewünschte Bandbreite an. Hohe Dämpfung führt zu einem Breitbandfilter. Umgekehrt führt eine niedrige Dämpfung zu einem Schmalbandfilter.

Q-Faktor

Der dimensionslose Q-Faktor beschreibt, wie stark ein schwingendes System gedämpft wird. Er ist definiert als das Verhältnis der im System gespeicherten Anfangsenergie zur Energie, die in einem Radianten eines Schwingungszyklus verloren geht.

Ein höherer Q-Faktor stellt eine geringere Energieverlustrate dar, bei der Schwingungen langsamer abklingen (Schmalband, untergedämpft), während ein niedrigerer Q-Faktor ein verlustbehaftetes Netzwerk darstellt (Breitband, übergedämpft). Beispiele für High-Q-Systeme sind Uhren, Laser und Stimmgabeln, wobei letztere ein Q im Bereich von 1000 anzeigen. Einige High-Q-Laser erreichen Q-Werte von 1011 oder höher.

RLC-Schaltungen, die Widerstände, Induktivitäten und Kondensatoren integrieren, bilden das Rückgrat des Schaltungsdesigns. Mithilfe der Schaltungseigenschaften von Resonanz und Dämpfung können Ingenieur*innen eine Vielzahl von Schaltungen für den Einsatz in einer Reihe von Anwendungen konstruieren. Daher ist das Verständnis und Charakterisieren von RLC-Schaltungen für die Konstruktion, Analyse und Optimierung von Schaltungen, die einer Vielzahl von Elektronik- und Kommunikationssystemen assimiliert sind, von entscheidender Bedeutung.

Innerhalb von RLC-Schaltungen ist die elektromagnetische Kopplung ein kritischer Faktor, der die Leistung dieser Schaltungen beeinflusst – was den Frequenzgang, die Kraftübertragung, die Dämpfung und andere Eigenschaften beeinflusst.

Aus diesem Grund ist die Ansys Exalto ® Software für die Schaltungskonstruktion eine Post-LVS-Software zur RLCk-Extraktion, mit der Entwickler*innen das Übersprechen zwischen verschiedenen Blöcken in der Designhierarchie genau erfassen können, indem sie die Parasiten aus Pauschalelementen extrahieren und ein genaues Modell für die elektrische, magnetische und Substratkopplung erstellen. Die Exalto-Software ist mit den meisten LVS-Paketen kompatibel und ergänzt das RC-Extraktionstool der Wahl.

Darüber hinaus ist die Ansys RaptorH ™-Software eine Pre-LVS-Software für die elektromagnetische Modellierung, die die elektromagnetische Modellierung von Hochleistungs-HF- und digitalen SOCs mit hoher Kapazität ermöglicht, einschließlich Stromnetzen, vollständig anpassbaren Blöcken, Spiralinduktoren und Taktbäumen. Sie kombiniert die Goldstandard-Engine für elektromagnetische Simulation Ansys HFSS™ mit der siliziumoptimierten Ansys RaptorX-Engine.

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