Cos'è l'analisi nodale?

L'analisi nodale è un metodo per calcolare la tensione in corrispondenza dei collegamenti tra i componenti di un circuito elettrico, chiamati nodi. Si tratta di una parte fondamentale dell'analisi dei circuiti di qualsiasi tipo, da un semplice circuito cablato che collega componenti discreti ai complessi circuiti integrati (IC, Integrated Circuit) a semiconduttori.

In una semplice analisi nodale, ogni connessione tra i componenti, le tracce o i fili, prende il nome di nodo. Si utilizzano le leggi di Kirchhoff e la legge di Ohm per scrivere le equazioni della resistenza, della corrente e della tensione di ogni percorso conduttivo che porta a ogni singolo nodo. Il sistema di equazioni viene quindi risolto manualmente o utilizzando l'algebra lineare, allo scopo di determinare la differenze di potenziale per ogni nodo. Per i problemi più complessi, l'analisi nodale viene eseguita tramite software, solitamente costituito da un simulatore di circuito SPICE. 

L'analisi nodale si basa su tre leggi fondamentali:

1. legge della corrente di Kirchhoff (KCL, Kirchhoff's Current Law)

La somma algebrica di tutte le correnti che entrano ed escono da un nodo deve essere uguale a zero.

Dove I è la corrente ed n è il numero dei rami che entrano nel nodo. 

2. Legge della tensione di Kirchhoff (KVL, Kirchhoff's Voltage Law)

In un circuito chiuso, la somma algebrica di tutte le differenze di potenziale (tensioni) deve essere uguale a zero.

Dove V è la tensione ed n è il numero dei punti del circuito in cui viene misurata.

3. Legge di Ohm

La corrente elettrica (I) che attraversa un conduttore è uguale alla tensione (V) attraverso il conduttore divisa per la resistenza (R) del conduttore. 

Per l'analisi nodale viene utilizzato un diagramma del circuito, che rappresenta una rete formata dagli elementi elencati di seguito:

Nodo di riferimento: nodo del circuito di cui si conosce la tensione. Solitamente si tratta di un nodo di massa con tensione 0. 

Nodo non di riferimento: qualsiasi nodo con tensione sconosciuta. 

Sorgente di tensione: componente del circuito in cui il potenziale viene modificato da una tensione nota.

Sorgente di corrente: componente con una corrente nota. 

Supernodo: quando una sorgente di tensione ha due tensioni sconosciute su entrambi i lati, può essere trasformata in un supernodo, in cui le correnti dei due nodi vengono combinate in un'unica equazione, permettendo di scrivere una nuova equazione per la relazione tensione-corrente del supernodo. 

Componente: dispositivo elettronico con una relazione nota fra tensione e corrente. Per un resistore, tale relazione si basa sulla resistenza. Viene solitamente espressa come ammettenza, l'inverso della resistenza. Per un condensatore, la relazione dipende dalla funzione che lega la capacità alla variazione di tensione nel tempo. 

Analisi nodale modificata: per trovare tutte le tensioni sconosciute nei circuiti più complessi, una semplice analisi nodale potrebbe non essere sufficiente. Nei casi in cui la relazione corrente-tensione di un componente è più complicata della legge di Ohm, si esegue un'analisi nodale modificata. 

Analisi della mesh: se non si conoscono le correnti, per determinare le correnti sconosciute dei rami si utilizza la legge della tensione di Kirchhoff nella cosiddetta analisi della mesh. 

I circuiti elettronici sono progettati per trasferire la corrente elettrica allo scopo di erogare alimentazione e segnali. Gli ingegneri che progettano i circuiti devono avere la certezza che i componenti elettronici definiti funzionino come previsto. Si esegue quindi un'analisi nodale per calcolare le tensioni dei nodi e i flussi di corrente per ogni porzione all'interno del circuito. Una volta noti questi valori fondamentali, è possibile eseguire un'analisi più complessa per determinare l'integrità del segnale, il riscaldamento e le prestazioni di alimentazione complessive.

Nei progetti a livello di circuito stampato, l'analisi nodale può essere utilizzata per comprendere l'impatto della topologia della scheda, l'effetto dei diversi componenti e la distribuzione complessiva della potenza attraverso percorsi di conduttanza come piani di massa, tracce e vie.

Per i microchip di ogni tipo, diventa ancora più importante comprendere le perdite di potenza. A causa del numero di nodi, il numero delle equazioni nodali può aumentare notevolmente. La comprensione e la verifica della distribuzione di corrente, tensione e alimentazione possono essere eseguite solo attraverso l'analisi del circuito.

Il calcolo delle differenze di potenziale costituisce un'altra applicazione comune per l'analisi nodale, specialmente nei complessi prodotti a semiconduttore di oggi. Per ogni caduta di potenziale tra due nodi viene generato calore, a scapito dell'alimentazione disponibile per gli altri carichi. Gli strumenti di analisi nodale vengono utilizzati anche con i semiconduttori più complessi, per determinare qualsiasi carenza del circuito dovuta a differenze di potenziale indesiderate o concentrate.

I progettisti di chip possono utilizzare gli strumenti per andare oltre la ricerca dei problemi ed eseguire studi teorici per ottimizzare potenza e prestazioni. Strumenti come la piattaforma Ansys RedHawk-SC™ per la convalida dell'integrità di potenza nei circuiti integrati digitali e 3D vengono eseguiti su potenti piattaforme cloud HPC per supportare circuiti di grandi dimensioni con milioni di componenti nell'architettura a semiconduttori più recente. Poiché si tratta di un metodo affidabile, molte delle fonderie principali certificano il software RedHawk-SC per la convalida. 

Che venga eseguita manualmente o automaticamente tramite software, l'analisi nodale segue la procedura riportata di seguito:

1. Definizione dei nodi.

Registrazione di tutti i segmenti conduttivi collegati nei circuiti (nodi). In caso di risoluzione manuale, disegno del circuito e numerazione dei nodi. Se si utilizza il software, viene creato a livello di programmazione un elenco di tutti i nodi con la relativa connettività ai componenti, a partire da uno schema.

2. Scelta del nodo di massa.

Selezione di un nodo come riferimento e definizione della relativa tensione come tensione di massa. In questo modo si riduce di uno il numero delle incognite nel sistema. Se il circuito è formato da n nodi, è necessario risolvere n-1 equazioni.

3. Creazione delle variabili.

Per ogni nodo non di riferimento con tensione sconosciuta, occorre assegnare una variabile che indica la tensione di quel nodo. Per i nodi con tensione nota non è necessaria alcuna variabile.

4. Costruzione delle equazioni dei nodi.

Occorre scrivere l'equazione KCL per ogni singolo nodo con tensione sconosciuta, ponendo uguale a zero la somma delle correnti dei rami calcolate per ogni lato del nodo. Se tra due nodi è presente una sorgente di corrente, la corrente tra tali nodi può essere un valore noto, costituito dalla differenza di tensione fra i nodi divisa per la resistenza fra i nodi, oppure può essere una relazione tra la variazione di tensione e capacità, nel caso di un condensatore. Altri componenti possono avere equazioni più complesse.

5. Unione di più nodi per formare i supernodi.

Tutte le sorgenti di tensione che collegano due tensioni sconosciute ai supernodi possono essere connesse da una singola equazione.

6. Assemblaggio e risoluzione.

Se il circuito non è abbastanza piccolo da consentire la risoluzione manuale, il sistema di equazioni simultanee può essere riorganizzato in una matrice quadrata con n-1 righe e colonne. È quindi possibile utilizzare i metodi numerici dell'algebra lineare per determinare le tensioni sconosciute. 

Ecco un semplice esempio per illustrare meglio questa procedura. Nella figura seguente è illustrato un circuito con una sorgente di corrente, una sorgente di tensione da 10 V e due resistori. La tensione V₁ è sconosciuta. 

1. L'unica tensione sconosciuta è V₁. L'altro nodo è collegato a terra e verrà utilizzato come punto di riferimento.
2. Il nodo V₁ ha tre correnti di diramazione:
   • La corrente che attraversa il resistore R₁: (V₁ - V_s)/R₁
   • La corrente che attraversa il resistore R₂: (V₁ - 0)/R₂
   • La corrente che attraversa la sorgente di corrente I_s: - I_s
3. Secondo la legge della corrente di Kirchhoff, la somma di tutte queste correnti deve essere uguale a 0:
   

4. Riscriviamo l'equazione per V₁:

Ora utilizziamo il metodo dell'analisi nodale per esaminare un circuito con una sorgente di tensione collegata a due tensioni sconosciute. 

1. V₁ e V₂ hanno una tensione nodale sconosciuta. L'altro nodo è collegato a massa, pertanto è il nodo di riferimento impostato su 0 V. Inoltre, poiché V_A si trova fra V₁ e V₂, è un supernodo.
2. Il nodo V₁ ha tre correnti di diramazione:
   1. La corrente che attraversa il resistore R₁: (V₁ - V₂)/R₁
   2. La corrente che attraversa il resistore R₂: (V₁ - 0)/R₂
   3. La corrente che attraversa la sorgente di corrente I_A è: - I_A , ovvero 2 ampère
3. Il nodo V₂ ha quattro correnti di diramazione:
   1. La corrente che attraversa il resistore R₁: (V₂ - V₁)/R₁
   2. La corrente che attraversa il resistore R₂: (V₂ - 0)/R₃
   3. La corrente che attraversa la sorgente di corrente I_b è: I_b, ovvero 2 ampère
   4. L'equazione del supernodo per V_A è: V₂ = V₁ + V_A
4. Secondo la legge della corrente di Kirchhoff, la somma dei flussi di corrente per il nodo 1 deve essere uguale a 0:

5. Riscriviamo l'equazione per V₁:

6. Secondo la legge della corrente di Kirchhoff, la somma dei flussi di corrente per il nodo 2 deve essere uguale a 0:

7. Riscriviamo l'equazione per V₂.

8. Usando l'equazione del supernodo per V2 e risolvendo le altre due equazioni, otteniamo V₁ = -7,33 V e V₂ = -5,33 V

L'analisi nodale, solitamente sotto forma di solver SPICE, costituisce una fase fondamentale per la caratterizzazione del comportamento di qualsiasi circuito elettrico. Dai semplici circuiti su una basetta ai nuovi semiconduttori con milioni di transistor, gli ingegneri devono utilizzare strumenti come la piattaforma Ansys Totem™ per la convalida dell'integrità di potenza anche per determinare il rumore elettrico e verificare l'affidabilità per i progetti analogici a segnale misto, oltre che per calcolare le tensioni.

Il software Ansys Twin Builder® offre un solver di analisi nodale completo, che può essere combinato con altri strumenti con ordine ridotto. Questa singola interfaccia consente di analizzare sia il circuito, sia il carico collegato.

Ecco alcuni suggerimenti garantire l'efficienza e il successo dell'analisi nodale di un sistema elettrico complesso:

1. Prima di costruire il modello di analisi nodale, identifica tutti gli elementi del circuito nel progetto, incluse le relative proprietà elettriche.
2. Assicurati che le tue ipotesi sui nodi di riferimento siano corrette, che tali nodi siano effettivamente collegati a massa e che la tensione non possa variare.
3. Per costruire la rappresentazione del circuito, utilizza uno strumento in grado di leggere i dati ECAD senza problemi e che richieda un input minimo da parte dell'utente.
4. Prenditi il tempo necessario per comprendere le basi dell'analisi nodale. Dedica un po' di tempo a esercitarti con le analisi dei circuiti più semplici, in relazione al tipo di componenti da caratterizzare.
5. Usa uno strumento software che vada oltre la semplice analisi nodale. Usa una soluzione che sfrutta l'analisi nodale di un determinato circuito come punto di partenza per ulteriori simulazioni. 

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